View Full Version : Para quem curte Matemática - Equação do 2º Grau
Bão, essa é para quem curte umas curiosidades matemáticas...
Aprendi esses dias e achei incrível: como descobrir uma das raízes de uma equipação de 2º grau usando apelas o conceito de áreas de figuras geométricas?!
É algo relativamente simples, mas precisa de um raciocínio muito interessante para se achar o resultado! Vou escrever uma equação com números relativamentes fáceis (até porque não é com qualquer equação que dá certo, mas existe uma infinidade que dá certo).
Só por curiosidade, os matemáticos e estudiosos usavam esta técnica antes da famosa fórmula de Bascar (aquela do Delta e da fórmula par achar X' e X"), q resolveu todo o problema!
Aí vai a equação:
x² + 8x - 33 = 0
Resolva apenas com o conceito de áreas de figuras geométricas, SEM USAR a fórmula de Bascar, para encontrar uma das raízes! Se ninguém souber, eu tento explicar com o uso de umas figuras....
[]'s
Como o gráfico de uma eq do 2° grau eh uma parábola, pressuponho q tenha q usar cálculo integral, certo? I can do it
l337 B4tZ !!!!
não!!!! não tem nada a ver com o gráfico desta parábola, q só pode ser desenhado depois de conhecida as duas raízes....
qdo eu disse q tem a ver com área, são de figuras elementares, como quadrado e retangulo, não tem nada a ver com a parábola!! :D
let's go!!! usem a massa cinzenta de vcs!!
Poxa sem Bascara é dificiel.....:(
Isso quer dizer q essa equação pode ser uma figura geométrica....
:confused: :confused: :confused:
Mantrhax
21-01-2004, 22:01:05
Meu cunhado é médico, ele usa muito isso ai, é super util no dia a dia dele...no do meu primo que é advogado tambem e pior ainda, eu que sou administrador entao, afff uso direto , super util !!!!
HAUHUAHUAHUHAUHAUHAHAUH
Rafinha
22-01-2004, 01:03:30
Po Batz..pensei..pensei e não cheguei a nada...
Vamus ver se o meu palpite está certo:
Vc tem que pegar a equação x2+8x-33 e subdividi-la em 3 figuras?
Tipo um quadrado com lados x irá formar x2
Um retangulo com lados x e 8 para formar 8x
E outro retangulo de lados 3 e 11 (exemplo) pra formar 33
Seria mais ou menos isso??
Dae eu não fui pra frente...
Explica duma vez que fiquei curioso!:)
SNIPA
23-01-2004, 15:32:34
OPA!! matematica!
SIm dá pra resolver, mas não sei sobre este método geométrico ao certo.
Um outro método que resolviam antes do Baskhara foi o método de completar quadrados.
VOu resolver pelo método de completar quadrados, que não é o método que o batz tá falando.
Olhem:
x²+8x-33=0
(x²+8x+16)-33-16=0
Reparou o produto notável depois que somei 16 e ao mesmo tempo subtraí? Ou seja, não alterei a equação.
Então fica, a MESMA equação só que escrita de forma reduzida:
(x+4)²-49=0
(x+4)²=49
(x+4)=7
ou
(x+4)=-7
o que dá:
x1=3
x2=-11
Essa é uma forma antiga de se resolver equações de 2º grau e se chama o método de completar quadrados.
Mas eu nem sei este método que o batz está falando pois eu nunca o vi.
t+!
PQ 16 SNIPAERSIT?
Aew (indica a troca de um alvo específico para um genérico), Eu tava pesquisando na net, vi umas coisas de resolver por um circulo e um triangulo retangulo (um tal de método grego) mas modelo da equação era outro
SNIPA
23-01-2004, 16:32:03
Originalmente enviada por nerj
PQ 16 SNIPAERSIT?
Aew (indica a troca de um alvo específico para um genérico), Eu tava pesquisando na net, vi umas coisas de resolver por um circulo e um triangulo retangulo (um tal de método grego) mas modelo da equação era outro
o q significa snipaersit?
16 eu adicionei e subtraí propositalmente para criar um quadrado perfeito. ok?
bom, acho q ninguém vai acertar essa, pois é necessário um pensamento não muito comum, embora não seja difícil!!
acho q quem chegou mais perto da resposta foi o Rafinha, pelo menos ele teve o pensamento certo, só faltou a idéia final pra chegar no resultado!!!
tentei desenhar algumas coisas aqui para facilitar a vida, e vou tentar explicar o passo a passo, quem ficar com alguma dúvida, diga qual foi a passagem q eu tento explicar melhor:
Lá vai:
I) Partimos da Equação x² + 8x - 33 = 0
II) Podemos transformá-la em: x² + 8x = 33
III) Seguindo o raciocínio do Rafinha, podemos pensar que "x²" é a área de um quadrado de lado "x", e "8x" é a área de um retângulo em que os lados medem 8 e x... Pois bem, vou colocar um quadrado de lado X então, e dividir este retangulo de área "8x" em quatro retangulos iguais de lado 2 e x, que somados representam este retangulo de área "8x".
Desta forma, teremos uma figura deste tipo:
http://www.gamesbrasil.com.br/batz/Eq2G_01.jpg
IV) Se repararmos, faltará quatro quadradinhos nos cantos (de lado 2) para formarmos um quadradão maior, que teria lado igual a X+4, formando esta figura:
http://www.gamesbrasil.com.br/batz/Eq2G_02.jpg
Então nós temos duas equações:
x² + 8x = 33 e x² + 8x + 16= (x+4) * (x+4) "Área do Quadradão"
acho q todos entedem q podemos modificar a primeira equação para:
x² + 8x + 16 = 33 + + 16 , que vai dar x² + 8x + 16 = 49 !
Substituindo na segunda equação, temos:
(x+4) * (x+4) = 49
Agora é só raciocínio puro:
- Qual é o número que multiplicado por ele mesmo dá 49?! R) 7 :D
- Então podemos dizer que: X + 4 = 7
.................
LOGO: X = 3!!!!!!!
e achamos uma das raízes desta equação!!! :cool:
claro q não há como descobrir a segunda raiz desta forma, mas sem a bendita fórmula de Baskhar, os estudiosos antigos conseguiam descobrir pelo menos uma das raízes, o que era algo muito significativo!!!
espero q tenham gostado, eu achei muito interessante este método, nunca tinha imaginado que daria para resolver assim, e por isso achei legal trazer para os matemáticos da GB!!
:sm03:
ChAnWaY
23-01-2004, 21:46:54
socorroooo.. sou péssimo em matematica.. porque fui entrar aqui???
agora to doidooo! :D :sm02:
como um computador ajuda nessas horas :p
http://library.thinkquest.org/29292/quadratic/3solving/2complete/
sua equação Batz :)
Rafinha
23-01-2004, 21:59:00
r0x demais Batz, soh eu pokinho complicado...mas eu ainda prefiro Baskara ou pela forma soma e produto, todos sabem neh?
Mas eu até passei perto hehe, gosto muito de matemática...peguei a tua equação a 1 da manhã e fiquei rabiscando a folha até as 2:p tentando encontrar algo relacionado e o mais perto que cheguei foi o que falei....
r0x!:)
SNIPA
23-01-2004, 22:56:11
é exatamente o método de completar quadrados, eu pensei que fosse outro diferente...
:)
Eu prefiro só algebra mesmo, pq dae pula mais processos. Mas quem tem dificuldade, olhar um desenho pode facilitar muito.
Esqueci de dizer que este método tem a mesma eficiência do de baskhara, podem usá-lo! eu acho ele muito prático e o método de adivinhar as raízes através de soma e produto que o rafinha citou tb acho super eficiente.
E nerj, vc viajou hein! Integral???????????
hhihihihi
MaZiNhU
24-01-2004, 00:13:24
Originalmente enviada por BatZ
bom, acho q ninguém vai acertar essa, pois é necessário um pensamento não muito comum, embora não seja difícil!!
acho q quem chegou mais perto da resposta foi o Rafinha, pelo menos ele teve o pensamento certo, só faltou a idéia final pra chegar no resultado!!!
tentei desenhar algumas coisas aqui para facilitar a vida, e vou tentar explicar o passo a passo, quem ficar com alguma dúvida, diga qual foi a passagem q eu tento explicar melhor:
Lá vai:
I) Partimos da Equação x² + 8x - 33 = 0
II) Podemos transformá-la em: x² + 8x = 33
III) Seguindo o raciocínio do Rafinha, podemos pensar que "x²" é a área de um quadrado de lado "x", e "8x" é a área de um retângulo em que os lados medem 8 e x... Pois bem, vou colocar um quadrado de lado X então, e dividir este retangulo de área "8x" em quatro retangulos iguais de lado 2 e x, que somados representam este retangulo de área "8x".
Desta forma, teremos uma figura deste tipo:
http://www.gamesbrasil.com.br/batz/Eq2G_01.jpg
IV) Se repararmos, faltará quatro quadradinhos nos cantos (de lado 2) para formarmos um quadradão maior, que teria lado igual a X+4, formando esta figura:
http://www.gamesbrasil.com.br/batz/Eq2G_02.jpg
Então nós temos duas equações:
x² + 8x = 33 e x² + 8x + 16= (x+4) * (x+4) "Área do Quadradão"
acho q todos entedem q podemos modificar a primeira equação para:
x² + 8x + 16 = 33 + + 16 , que vai dar x² + 8x + 16 = 49 !
Substituindo na segunda equação, temos:
(x+4) * (x+4) = 49
Agora é só raciocínio puro:
- Qual é o número que multiplicado por ele mesmo dá 49?! R) 7 :D
- Então podemos dizer que: X + 4 = 7
.................
LOGO: X = 3!!!!!!!
e achamos uma das raízes desta equação!!! :cool:
claro q não há como descobrir a segunda raiz desta forma, mas sem a bendita fórmula de Baskhar, os estudiosos antigos conseguiam descobrir pelo menos uma das raízes, o que era algo muito significativo!!!
espero q tenham gostado, eu achei muito interessante este método, nunca tinha imaginado que daria para resolver assim, e por isso achei legal trazer para os matemáticos da GB!!
:sm03:
Rox hein Batz :)
Aew uma coisa que eu observei, mas sem explicação, sem lógica, é que na equação final X+4=7, então X=3 (uma raiz)
A outra raiz, eu descobri, sem explicação assim:
pega a equação, inverte o sinal do 4, fika -4, então
X-4=7, logo X=11, ai multiplicamos a equação por -1 e dá -11 que eh a segunda raiz, fiz isso eh mais umas equações e esse processo deu certo em todas, o porque que tem que inverte pra dah a outra raiz não sei, será que a gente descobre??
Snipa e Rafinha, claro q usar a fórmula de Baskhara é muito mais fácil e eficiente, afinal, não tem muito o q raciocinar, é só calcular as contas, este método é apenas pela curiosidade mesmo de encontrar uma maneira totalmente diferente para se resolver!!
mas em nenhum momento eu acho q essa maneira de resolver deva ser usada em relação a fórmula, até pq por ela vc já tem as duas raízes de uma vesz, é muito mais prático! ;)
SNIPA
24-01-2004, 00:57:30
Originalmente enviada por MaZiNhU
Rox hein Batz :)
Aew uma coisa que eu observei, mas sem explicação, sem lógica, é que na equação final X+4=7, então X=3 (uma raiz)
A outra raiz, eu descobri, sem explicação assim:
pega a equação, inverte o sinal do 4, fika -4, então
X-4=7, logo X=11, ai multiplicamos a equação por -1 e dá -11 que eh a segunda raiz, fiz isso eh mais umas equações e esse processo deu certo em todas, o porque que tem que inverte pra dah a outra raiz não sei, será que a gente descobre??
Não mazinhu, não é bem assim de multiplicar por -1.
Toda igualdade x²=a resulta x=+ou- a
entendeu^?
tem dois casos, voltando ao que vc escreveu, pode ser -7 ou +7, nao tem nada a ver e está completamente errado inverter sinal do 4.
MaZiNhU
24-01-2004, 01:22:30
Aew pessoal, acho que descobri:D
Todos nõs sabemos que eh Geometria não existe lados negativos para calculo de área, não existe falar que a parede tem -2 metros de comprimento :p
Mas como estamos falando de álgebra, utilizaremos o "lado" negativo, assim sendo, na equação
(X+4).(X+4), temos que X="lado do quadrado POSITIVO", 4=2.2 (sendo 2 o lado do retângulo POSITIVO)
Se invertemos os sinais dos lados, não existiria em geometria, mas sim em álgebra, fikaria:
(-X-4).(-X-4), segindo o mesmo raciocinio do Batz:
-X-4=7, Logo X=-11 :eek: :D
Tipo, não necessariamente as raizes das equações tem que ser uma positiva e uma negativa, sabemos disso, mas os lados sim, porque se trata de figuras imaginárias utilizadas só para calculo...
Sei lah, como a equação de segundo grau tem que ter 2 respostas, pensei nesse inversão de sinal.....
Eu fiz varias contas neh, tipow, não podemos inverter o sinal na equação principal (X²+8X-33=0), pelo o motivo de nós se quisermos saber o seu valor real mesmo, não podemos modificá-la, nem quando passarmos o X² para area e o 8X para área tb, agora quando vamos fazer a segunda igualdade que entra o (X+4).(X+4), eu acho que podemos, afinal estamos fazendo a multiplicação da área da figura imaginaria, na verdade....
não estamos multiplicando o 4 (2.2)do 8X pelo outro 4(2.2) do 8X ou para quem preferir o X do X².... Se trata de figura geometrica como falei no começo do tópico...
Eh isso ;)
Ps.: Quero ve se isso funciona com equação sem solução, equação que o Delta dah zero e aqualas em que a raiz dah + ou - de um mesmo valor :rolleyes:
MaZiNhU
24-01-2004, 01:47:54
Originalmente enviada por SNIPA
Não mazinhu, não é bem assim de multiplicar por -1.
Toda igualdade x²=a resulta x=+ou- a
entendeu^?
tem dois casos, voltando ao que vc escreveu, pode ser -7 ou +7, nao tem nada a ver e está completamente errado inverter sinal do 4.
Certo, certo intendi o que vc quiz me passar :)
Tipow, ai vc foi pelo racioncinio do Batz, que numero vezes que numero dah -49 neh??? Realmente essa raiz não existe....:(
Ops tive uma ideia:
temos essa equação (X+4)(X+4)=49, que numero vezes que numero dah 49? 7, legal
Invertamos o sinal
(-X-4)(-X-4)=49 ---> -(X+4).-(X+4)=49 --->Que numero vezes que numero dah 49?7, com menos de fora (by sexta serie hauhauauhau) -7!!!
Ou pra quem preferir ------> (X+4).-(x+4)=49 Que numero com o sinal invertido vezes que numero vai dar 49??? +7 e -7
X+4=7, X=3 /////////////////////////////////X+4=-7, X=-11
*Ou pode ser uma estratégia ;) (By alguem do forum que tem essa frase...)
Ps.: Alguem sabe como Baskara deduziu a sua formula????
Ele partiu de quem principio??
vixe, tú viajou legal hein mazinhu!!! :sm12: :sm28:
para achar a segunda raiz, é só voltar a equação original x² + 8x - 33 = 0 e fazer a fórmula da Soma e Produto:
Soma -> x' + x" = -8
Produto -> x' + x" = -33
como sabemos q uma das raízes é 3, se pensarmos qual número somado a 3 dá -8 e multiplicado por 3 dá -33, chegamos facilmente ao número -11!! ;)
ou, se preferir, usa a equação de Baskara, achar o delta e tal!
agora, sobre como foi desenvolvida a equação de Baskara, não tenho a menor idéia, mas q deve ser algo muuuito complexo, isso deve ser!!!
[]'s
MaZiNhU
24-01-2004, 23:45:40
Pow Batz, vamo usa um pouco a imaginação....
Eu pensei como se fosse aqueles caras do passado que acabou de desenvolver esse método de resolução....
Achar uma raiz e depois jogar na soma e produto eh facil neh meu, agora e c vc naum tiver baskara neh soma e produto???
Ps.: BaTz, vc tentou fazer com o delta dando zero? :rolleyes:
Camhilla
10-05-2009, 00:52:02
Olá, Pessoal....
Bom, apesar de ser a prmeira postagem, queria a ajuda de vcs!!!!
Preciso fazer um trabalho sobre equação de 2º grau pra faculdade.
Deve conter... uma situação do cotidiano que precisamos resolver atraves de uma equação, o que as duas raízes siginificam, esboçar o gráfico...
Quem quiser e puder...por favor...
Obrigada desde já!
Darkcity
11-05-2009, 10:42:29
aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff aff
wolfsolitary
11-05-2009, 17:44:02
Putz! Pior que eu tô desatualizado em matemática! Tenho que estudar para um concurso aê, paguei a inscrição, mas tá foda de estudar matemática e português!!!
Se me lembrasse de fazer equações eu poderia te ajudar e me ajudar tbm ehehe.
Boa sorte aí Camhilla
wolfsolitary
11-05-2009, 17:45:08
...
Sizemore
13-05-2009, 23:24:46
Nao leu as regras do forum camilla?A gente so ajuda em trabalhos de escola depois que a user postar fotos na banheira.
Syrrah
01-06-2009, 18:56:37
Teste sobre módulo.
1.(UEL) Todo x e y pertencem ao Conjunto dos números Reais / x<0<y. Qual é o valor de "Raíz quadrada de x².y²"?
(a) xy
(b) -xy
(c) -|x|y
(d) x|y|
(e) -|xy|
PS: to sem programa pra escrever raízes, o R de reais etc etc...
Regrinha de três:
2. A torneira verte água em quantidade suficiente para atingir as bordas de uma piscina em três dias e um ralo é capaz de esvaziá-la em quatro dias. Alguém vendo a piscina sem água abriu a torneira e distraidamente deixou destampado o ralo. Se ninguém mexer no ralo ou na torneira, então
(a) não conseguirá nunca ter a piscina cheia de água
(b)passados doze dias, a piscina terá água até a borda.
(c)passados sete dias, a piscina estará outra vez sem água
(d)passados sete dias, a piscina terá água até as bordas
(e) n.r.a.
:sm03:
Se não conseguirem eu mostro... :sm22:
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